Aix-Marseille Université · Licence MPCI, 2026-27Analyse de Fourier

EDP et transformée de Fourier

Feuille d'exercices (sans solutions)

Conventions et rappels

Transformée de Fourier : $\hat f(\xi)=\int_{\mathbb R} f(x)\,e^{-i\xi x}\,dx$. Inversion (Th. 2.11) : $f(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\hat f(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi$ si $f,\hat f\in L^1$.

Dérivation : si $f,f'\in L^1$, alors $\widehat{f'}(\xi)=i\xi\hat f(\xi)$. Convolution : $\widehat{f*g}=\hat f\,\hat g$.

Gaussienne (TD4, Ex. 4) : $\widehat{e^{-x^2}}(\xi)=\sqrt\pi\,e^{-\xi^2/4}$. Par dilatation, pour $a>0$ : $\widehat{e^{-ax^2}}(\xi)=\sqrt{\pi/a}\;e^{-\xi^2/(4a)}$.

Exponentielle : $\widehat{e^{-|x|}}(\xi)=\dfrac{2}{1+\xi^2}$.

À l'oral, chaque dérivation sous l'intégrale se justifie avec les Prop. 2.7 et 2.9 (domination).

Rappel : la fonction d'erreur

Définition. Pour $x\in\mathbb R$, $$\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-s^2}\,ds .$$ La gaussienne $e^{-s^2}$ n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles : on donne donc un nom à celle qui s'annule en $0$, normalisée comme ci-dessous.

Propriétés.

  1. $\operatorname{erf}$ est $C^\infty$, $\operatorname{erf}'(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}e^{-x^2}>0$ : elle est strictement croissante.
  2. $\operatorname{erf}(0)=0$ et $\operatorname{erf}$ est impaire (l'intégrande est pair).
  3. Limites : $\operatorname{erf}(x)\to1$ quand $x\to+\infty$, et $\to-1$ quand $x\to-\infty$.
    Preuve. Par le TD4 (Ex. 4), $\widehat{e^{-x^2}}(0)=\int_{\mathbb R}e^{-s^2}ds=\sqrt\pi$. Par parité, $\int_0^{+\infty}e^{-s^2}ds=\frac{\sqrt\pi}2$, d'où $\operatorname{erf}(+\infty)=\frac2{\sqrt\pi}\cdot\frac{\sqrt\pi}2=1$. C'est exactement ce qui fixe la constante $\frac2{\sqrt\pi}$.
  4. On note $\operatorname{erfc}=1-\operatorname{erf}$ (« erreur complémentaire »). Pour $x\to+\infty$ : $\operatorname{erfc}(x)\sim\dfrac{e^{-x^2}}{x\sqrt\pi}$, donc la queue est gaussienne.
  5. Près de $0$ : $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt\pi}\left(x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)\right)$ (développement de $e^{-s^2}$ puis intégration terme à terme).

Lemme (intégrale d'une gaussienne sur un intervalle). Pour $\alpha<\beta$ réels, $$\frac1{\sqrt\pi}\int_\alpha^\beta e^{-s^2}\,ds=\frac12\Big(\operatorname{erf}(\beta)-\operatorname{erf}(\alpha)\Big).$$ Preuve. Relation de Chasles : $\int_\alpha^\beta=\int_0^\beta-\int_0^\alpha$, puis définition de $\operatorname{erf}$ (le facteur $\frac2{\sqrt\pi}$ donne le $\frac12$).

Lien avec l'Exercice 1. Le noyau de la chaleur est $G_t(z)=\dfrac1{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-z^2/(4Dt)}$. Pour une donnée initiale $f=\mathbf 1_{[\alpha,\beta]}$ on obtient $$u(t,x)=\int_\alpha^\beta G_t(x-y)\,dy .$$ Le changement de variable $s=\dfrac{x-y}{2\sqrt{Dt}}$ (donc $dy=-2\sqrt{Dt}\,ds$) fait disparaître le facteur $\frac1{\sqrt{4\pi Dt}}$ au profit de $\frac1{\sqrt\pi}$ et change les bornes en $\dfrac{x-\beta}{2\sqrt{Dt}}$ et $\dfrac{x-\alpha}{2\sqrt{Dt}}$ : on est ramené au Lemme ci-dessus. Il reste à l'appliquer, puis à particulariser à $[-a,a]$ en utilisant l'imparité.

Contrôles utiles. Quand $t\to0^+$, les arguments des $\operatorname{erf}$ tendent vers $\pm\infty$ (selon la position de $x$ par rapport aux bornes) et l'on doit retrouver $f(x)$. Quand $t\to+\infty$, ils tendent vers $0$ et $u\to0$.

Valeurs : $\operatorname{erf}(0)=0$, $\operatorname{erf}(1)\approx0{,}8427$, $\operatorname{erf}(2)\approx0{,}9953$, $\operatorname{erf}(+\infty)=1$.

Lien avec les probabilités. La fonction de répartition de la loi $\mathcal N(0,1)$ est $\Phi(x)=\frac12\Big(1+\operatorname{erf}\big(\tfrac{x}{\sqrt2}\big)\Big)$. Ainsi $\operatorname{erf}$ n'est qu'une réécriture de $\Phi$ (changement de variable $s=u/\sqrt2$).

Exercice 1 (équation de la chaleur, niveau cours)

Soit $D>0$ et $f\in L^1(\mathbb R)$. On cherche $u(t,x)$ telle que $\partial_t u=D\,\partial_{xx}u$ sur $\mathbb R$, avec $u(0,x)=f(x)$.

  1. Appliquer la transformée de Fourier en $x$. Obtenir une EDO en $t$ pour $\hat u(t,\xi)$ et la résoudre.
  2. Reconnaître $e^{-D\xi^2t}$ comme une transformée de Fourier. En déduire $u=G_t*f$, avec $G_t$ à préciser.
  3. Calculer $u$ pour $f=\mathbf 1_{[-a,a]}$ (on exprimera le résultat avec la fonction d'erreur, voir le rappel).
  4. Que devient $u$ quand $t\to0^+$ ? Quand $t\to+\infty$ ?

Indication : quelle propriété de la Prop. 2.6 (iv) transforme le produit en convolution ?

Exercice 2 ($-u''+u=f$ sur $\mathbb R$, niveau cours)

Soit $f\in L^1(\mathbb R)$. On cherche $u$ telle que $-u''+u=f$ sur $\mathbb R$.

  1. Trouver $\hat u$ en fonction de $\hat f$.
  2. En déduire $u=\tfrac12 e^{-|x|}*f$.
  3. Unicité. Si $u$ est solution de l'équation homogène ($f=0$) avec $u,u''\in L^1$, montrer que $u=0$.

Indication : pour la question 3, utiliser le Th. 2.11 (inversion), pas seulement $\hat u=0$.

Exercice 3 (Laplace sur le demi-plan, niveau oral X)

On cherche $u$ bornée sur $\{y>0\}$ telle que $\partial_{xx}u+\partial_{yy}u=0$, avec $u(x,0)=f(x)$.

  1. Appliquer Fourier en $x$ et résoudre l'EDO en $y$. Pourquoi garde-t-on $e^{-|\xi|y}$ et rejette-t-on $e^{+|\xi|y}$ ?
  2. Montrer que $u=P_y*f$, où $P_y(x)=\dfrac{y}{\pi(x^2+y^2)}$.
  3. Calculer $u$ pour $f=\mathbf 1_{[-1,1]}$.
  4. Montrer que $u(x,y)\to f(x)$ quand $y\to0^+$ (approximation de l'unité).

Indication : la transformée de $e^{-y|x|}$ donne $P_y$ par inversion.

Exercice 4 (équation des ondes, niveau oral X)

Soit $c>0$. On cherche $u$ telle que $\partial_{tt}u=c^2\partial_{xx}u$, avec $u(0,\cdot)=f$ et $\partial_tu(0,\cdot)=g$.

  1. Trouver $\hat u(t,\xi)$.
  2. Utiliser la translation (Prop. 2.6 (i)) pour retrouver la formule de d'Alembert. Pour le terme en $g$, reconnaître $\dfrac{\sin(c\xi t)}{c\xi}$ comme la transformée d'une fonction indicatrice.
  3. Pour quelles données la solution est-elle une onde qui avance sans déformation ?

Indication : $\cos(c\xi t)$ s'écrit avec des exponentielles complexes.

Exercice 5 (Schrödinger libre, niveau oral X)

On considère $i\hbar\,\partial_t\psi=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx}\psi$, avec $\psi(0,x)=e^{-x^2/(2\sigma^2)}$.

  1. Trouver $\hat\psi(k,t)$.
  2. Calculer $\psi(x,t)$, puis $|\psi|^2$.
  3. Montrer que la largeur vaut $\sigma(t)=\sigma\sqrt{1+\Big(\dfrac{\hbar t}{m\sigma^2}\Big)^2}$. Interpréter.
  4. Relance de jury. La gaussienne « complexe » est-elle couverte par la formule de transformée de la gaussienne ? Qu'est-ce qui justifie le calcul ?

Indication : poser $\beta=\dfrac{\sigma^2}2+\dfrac{i\hbar t}{2m}$ et reconnaître $e^{-\beta k^2}$. Pour la relance, penser au prolongement analytique en le paramètre $a$ de $e^{-ax^2}$ (cas $\operatorname{Re}a>0$).

Les résultats finaux de l'auteur sont recoupés par son propre calcul, non par une source externe : à comparer avec les tiens.